Article 19 (Part 1). 우리의 공간은 휘어져 있다.

 

 

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우리의 공간은 휘어져 있다면 이해가 되는 사람은 잘 없을 것이다. 하지만 우리는 익숙해서 인지를 못할뿐이지 휘어진 공간에서 살고 있다. 그 원인은 중력에 있다.

 

인공위성이 왜 떨어지지 않알까에서 중력에 대해서 알아 보았지만 조금더 알아 보도록 하자

 

Article 14. 인공위성은 떨어지지 않고 어떻게 계속 돌고 있을까?

Article 14. 인공위성은 떨어지지 않고 어떻게 계속 지구를 돌수 있을까?

 

 

 

 

Part 1에서는 중력과 가속도에 대해서 알아보고 Part 2에서 일반상대성이론과 휘어진 공간과 그 현상들에 대해서 알아보자

Part 1
1. 등가의 원리(중력과 가속도)
2. 가속도

Part 2
3. 일반 상대성 이론
4. 휘어진 공간
5. 중력에 의한 시간차이

 

 

1. 등가원리 (중력과 가속도)

 

 

중력하면 떠오르는 인물은 뉴턴이다. 뉴턴은 1687년 프린키피아에서 질량을 가진 모든 점들에 중력이 존재하고, 그 점들이 모여 만든 물체는 그 질량만큼의 힘을 가진다는 만유인력의 볍칙을 제시하였다. 대부분이 사과가 떨어지는 것으로 이해를 했지만 만유일력의 법칙은 우주에서의 행성들의 이동도 설명이 된다. 지구와 달이 서로 잡아 당기는 만유인력 때문에 지구를 끊임없이 돌고 있고, 지구는 태양을 끊임없이 돌고 있다.  또한 케플러제 1법칙의 행성궤도의 법칙에서 행성이 타원궤도를 도는 원리가 밝혀지게 된다. 만약 두개의 질량이 같다면 만유인력에 의해 행성들의 중심은 가운데로 두 행생성은 원운동을 할것이다. 그러나 행성들은 서로 다른 질량을 가지고 있어 큰쪽의 행성으로 중심축이 이동하게 되면서 타원 궤도를 움직이게 된다. 

 

다만 뉴턴은 중력이 왜 생기는지는 밝혀내지 못했다. 

 

물건이 떨어지고 그 물건은 지구의 중심을 향하는 이유가 물건과 지구가 서로 당기기 때문이라는데, 아인슈타인은 뉴턴의 만유인력 법칙에 의문이 생겼다. . 뉴턴의 만유인력 법칙에 따르면  질량이 있는 물체는 거리에 따라 당기는 힘이 달라진다고 하였다. 그러나 아인슈타인은 질량과 거리는 관찰자에 의해 달라진다고 특수 상대성 이론에서 설명하고 있다. 만유인력의 법칙과 특성 상대성 이론은 어딘가 맞지 않았다.

 

우주는 중력이 없는 공간으로 모든 사물이 떠 다닌다.

 

출처 : NASA

 

그런데 우주선의 속도가 높아지면 우리의 몸은 가속하는 반대방향인 뒤로 가게 된다. 이것은 자동차가 가속할때 몸이 뒤로 쏠리는 것과 같은 현상이다. 몸을 유지 할려면 가속도에 맞서 몸을 일으키기 위한 힘이 필요하다. 우주도 무중력이지만 가속상황에서는 지구와 똑같은 상황이 벌어진다. 우리가 지구의 땅에서 서 있는 것은 가속하고 있는 우주선에 있는것과 같다는 의미이다.

 

 

 

가속도나 중력이 없는 모습을 생각해 보자. 높은 건물에서 자유롭게 떨어질수 있다면 자신의 무게를 느끼지 못할것이다. 아인슈타인은 이 효과를 보여주는 예로 엘리베이터를 설명하였다.

 

엘리베이터가 아래로 간다면 체중은 점점 가벼워지고, 올라 간다면서 체중은 점점 더 늘어나게 된다. 만약 엘리베이터의 케이블이 끊어진다면 사람은 공중에 뜨게 되면서 체중을 느끼지 못하고 아무런 힘을 받지 않는것 처럼 무중력 상태를 느끼게 된다.

 

 

 

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그런데 뉴턴은 지구의 질량이 사람들을 잡아 당긴다고 하였다. 

 

만약 엘리베이터는 정지해 있는데 탑승객의 몸무게나 지구의 질량이 늘어났다면, 만유인력의 법칙에 의해 두 물체 사이에 작용하는 중력은 각 물체의 질량의 곱에 비례하게 된다. 즉 각 물체의 질량이 늘어나면 그만큼 비례해서 중력이 커진다는 것이다. 결국 탑승객의 질량 또는 지구의 질량이 늘어나면 탑승객은 그만큼 아래쪽으로 당겨지는 힘을 더 크게 느끼게 된다. 

 

만유인력의 법칙

즉, 등가원리란 탑승객의 입장에서 엘리베이터가 위로 가속하는지 중력이 강해졌는지를 구분할 수 없어, 두 효과가 동등하다는 원리이다.

 

특수상대성이론을 발표한 지 2년이 지난 1907년 아인슈타인은 새 중력이론인 "등가원리(equivalence principle)" 로 중요한 돌파구를 찾았다. 아인슈타인은 훗날 이때가 가장 행복했던 생각이었다고 회고했다고 한다.

 

중력과 가속도가 같다고 하면 떨어지는 것은 무엇일까? 

 

2. 가속도

 

 

번지점프롤 생각해보자. 번지점프 처럼 자유낙하를 하게 되면 중력을 느낄수 없다. 즉 낙하를 한다면 자신의 무게를 느끼지 못하며 중력이 사라진다.

 

Photo by 사이언스 스캔들

 

 

 

속력이 바뀌거나 방향이 바뀌면 가속운동을 하는 것인데 그 중 원운동은 원 위의 점이 끊임없이 방향이 바뀌는 대표적인 가속 운동이다. 원운동을 하는 열차가 있다고 가정하자. 아인슈타인의 특수 상대성이론에 따르면 열차의 속도가 빨라지면 다른 관찰자가 보기에 그 길이가 짧아지고, 빨리 돌면 돌수록 길이는 더 짧아져야 한다. 그런데 원의 지름도 변하지 않고 π (3.141592..) 값도 변하지 않는데 달리는 열차의 길이는 왜 더 짧아 지는걸까? 아인슈타인은 원주율이 달라진다고 생각했다

 

아인슈타인은 원운동의 문제에 리만의 수학을 적용하면서 특수상대성이론은 어린아이 장난 같았다고 아인슈타인은 회고 했다고 한다.

 

리만은 2000년 넘게 수학계의 진리라고 여겨지던 유클리드의 수학계의 기본원리라고 불렀던 '한 직선과 점이 있을 때 그 점을 지나면서 평행한 선은 하나 밖에 없다'라는 제5공리의  오류를 증명한 천재 수학자다. 이 공리에 따르면 다른 선들은 절대 평행이 될 수 없다. 리만은 이것이 틀렸다는 것을 증명함으로써 아인슈타인의 원 둘레에 관한 문제에도 해답을 주었다.

위키피디아

 

 

지구에서 적도위의 서로 다른 두점에서 적도에 90도로 선을 그으면 두선은 평행하게된다. 그러나 평행한 두 선은 유클리드 제 5공리에서 두 선은 만날수 없지만 적도에서 평행한 두 선은 북극에서 만나게 된다. 이것은 지구가 둥글기 때문이다. 

 

 

 

필라델피아에서 베이징이 직선상에 있지만 실제 거리는 14,300km이고 위로 돌아 가는것은 11,000km이다. 이것은 지구가 평면이 아니고 둥글기 때문이다. 비행기들도 직선으로 목적지를 향해 나아가고 있지만 실제로는 평면 기준으로는 비행기가 지나가는 모든 선은 휘어지게 날아간다. 비행기는 직선으로 날아가지만 보는 이에 따라 그 행로가 휘어져 보이는 것이다.

 

https://people.astro.umass.edu/

 

 

즉, 평면 위에 두 개의 평행선을 그어 놓고, 이 평면을 휘어버리면 이 두 개의 선은 더 이상 평행선일 수 없다. 삼각형도 마찬가지다. 평면에서는 새 각의 합이 180도 이지만, 휘게 하면 180도를 넘거나 180도 보다 작아진다.

 

 

Closed universe (top), open universe (middle), and flat universe (bottom). NASA

 

 

 

 

유클리드가 말한 원주율 3.14는 평면을 기준으로 이야기한다. 지구처럼 휘어진 공간에서는 원주율이 3.14보다 작고, 말안장 처럼 휘어지면 원주율은 3.14보다 크다. 즉 원주율을 공간이 휘어진 만큼 변하는것이지 절대적이지 않다.

 

따라서 아인슈타인은 원주율이 달라진다고 생각했다. 아인슈타인은 원이 가속도로 움직일때 원주율이 변하고 이것은 공간이 휘어져 있기 때문이라는 것을 알았다. 즉 우리가 사는 현실은 공간 자체가 휘어져 있지만 우리는 너무 익숙해져서 실감하지 못하는것이다.

 

그럼 다시 엘리베이터로 돌아와 보자. 엘리베이터 바깥에서 정지해 있는 관찰자가 엘리베이터에 구멍이 뚫여 빛을 엘리베이터로 비추고 있다고 가정하자. 구멍으로 들어 온 빛은 직진해서 수평으로 들어오는것을 볼수 있다. 엘리베이터가 천천히 올라 가더라도 빛은 변함없이 수평으로 들어 올것이다. 그런데 엘리베이터가 바깥에 있는 사람에 대해서 일정한 속도로 위쪽으로 상승한다면 빛은 아래로 휘게 될것이다. 그러나 바깥에 있는 사람은 여전히 빛은 수평방향으로 이동하는것 처럼 보인다. 그리고  엘리베이터가 위쪽으로 가속하고 있다면 빛은 아래로 크게 휘게 된다. 이것은 엘리베이터 바닥이 올라오기 때문이다. 빛이 휘어지는게 아니라 공간이 변하기 때문에 휘어지게 되는것이다. 따라서 질량이 존재하는 공간, 즉  중력이 존재하는 공간이나 가속도가 존재하는 공간은 모든 물체를 휘게 한다.

 

 

 

 

 

그러면 왜 떨어지는 것일까? 지구가 만들어내 휜 공간에 자연스럽게 흘러가고 있는것이다.

 

Part 2에서 아인슈타인은 뉴턴이 밝히지 못한 중력에 대해서 이야기 해보도록 하자

 

Part 1
1. 등가의 원리(중력과 가속도)
2. 가속도

Part 2
3. 일반 상대성 이론
4. 휘어진 공간
5. 중력에 의한 시간차이

 

 

 

Reference

1. https://asd.gsfc.nasa.gov/blueshift/index.php/2015/11/25/100-years-of-general-relativity/

2.https://www.cambridge.org/core/books/abs/irresistible-attraction-of-gravity/spacetime-curvature-and-gravity/485E2820071C2B805760508EDC4864AE

3. https://m.dongascience.com/

4. https://www.skyatnightmagazine.com/space-science/space-curved-flat

5. https://www.feynmanlectures.caltech.edu/II_42.html#:~:text=In%20general,%20a%20two-dimensional,of%20discrepancy%20or%20the%20other.

6. https://www.astronomy.com/science/the-beginning-to-the-end-of-the-universe-exploring-the-shape-of-space-time/

7. https://newsteacher.chosun.com/site/data/html_dir/2019/05/29/2019052900376.html

8. https://www.skyatnightmagazine.com/