평균대를 걸을때나 외줄 타기를 할때와 같이 중심을 잡아야 할때 우리는 팔을 펼치거나 긴 장대를 들고 줄위를 걸으면 안정감도 있고 중심잡기가 쉬워진다.
중심을 잡아야 할때는 몸을 움직이면 안되기 때문에 회전하는 방향에 대한 관성을 유지할려고 하기 위한 행동이다. 외부에서 힘이 작용하지 않는 한은 정지해 있는 상태를 유지할려고 하는 회전관성 또는 관성 모멘트라는 물리적 원리가 적용된다.
그러면 왜 팔을 벌리고 장대를 들고 있는것이 회전관성과는 무슨 관계가 있는 것일까 ?
몸체가 축을 중심으로 자유롭게 회전할 때 각운동량을 변경하려면 토크를 적용해야 한다 . 이는 각가속도 ( 각속도 의 변화율 ) 를 유발하는 데 필요한 토크의 양은 몸체의 관성 모멘트에 비례하여 작용하게 된다.
아래 순으로 알아 보도록 하자
1. 회전 관성, 관성 모멘트
2. 회전 운동 에너지
3. 토크
4. 각운동
5. 각운동량 보전의 법칙들
1. 회전 관성, 관성 모멘트
관성은 운동상태를 유지하려는 특성이다. 외부에서 힘이 작용하지 않는 한 정지한 물체는 계속 정지해 있으려 하고, 운동하던 물체는 계속 등속도 운동을 한다는 것이다.
관성 모멘트는 질량 (관성)이 선형 운동이 회전 운동으로 작용한다. 둘 다 운동 변화에 대한 신체의 저항을 특징으로 하여, 관성 모멘트는 회전축 주위에 질량이 어떻게 분포되어 있는지에 따라 달라지며 선택한 축에 따라서도 달라진다.
크리스티안 호이겐스(Christiaan Huygens)는 최초의 진자시계를 발명한 지 17년 후인 1673년에 복합 진자(compound pendulum )의 진동에 대한 연구에서 매개변수로 적용하였다.
그 후 1765년 Leonhard Euler 가 그의 저서 고체 또는 강체의 운동론(Theoria motus corporum solidorum seurigorum)에서 관성 모멘트 라는 용어를 소개하고 오일러 제2법칙에 통합하였다. 관성 모멘트는 모양과 질량을 결합하는 물리적 매개변수로서 강체에 대한 운동량 , 운동 에너지 및 뉴턴의 운동법칙에도 나타난다.
우리가 관성이 크다고 말하는 것은 현재의 운동 상태를 유지할려고 하고 지금의 운동 상태를 변화시키기 힘들다는 것이다.
이것을 물리적으로 보면 물체가 고정된 축 주위를 회전하는 동안 축으로 부터 물체까지 거리는 변하지 않으면 회전관성, 관성 모멘트 I 는 일정하게 된다. 단면의 질량과 기준축과 단면 중심 사이의 거리의 제곱의 곱으로 정의됩니다. 회전하는 축이나 원판 등이 이에 해당하게 된다.
회전 관성, 관성모멘트
다시 말해, 관성모멘트는 회전에 대한 저항성이다. 질량이 회전축에 가깝게 모일수록 관성모멘트가 작아지고, 멀리 분포할수록 관성모멘트가 커지게 된다..
다양한 형태의 관성모멘트
2. 회전 운동 에너지
운동에너지(Ek)가 질량(m)과 속도(v)의 제곱에 비례하고, 속도 v=rω 이기 때문에, 회전 운동 에너지는 아래와 같이 나타낼수 있다. 여기서 운동에너지의 질량m은 회전 운동에너지의 회전관성 I 에 대응 된다.
이것은 무게가 서로 다른 차가 같은 속도로 달리고 있을 때를 가정하면, 질량이 큰 차가 작은 차에 비해 관성이 크기 때문에 속도변화는 그만큼 어렵다는 것을 의미이기도 하다.
다시 돌아와서
평균대에서 팔을 펼치거나 긴 막대를 가지게 되면 회전축인 몸과 질량이 분포되어 있는 거리 간격이 클수록 회전관성도 크게 되는데, 회전 관성이 커지면 외부에서 힘이 가해지지 않는 이상은 그 만큼 회전하기 어렵다는 뜻이 된다.
그래서 중심을 잡을때는 최대한 회전관성을 받지 않기 위해서 팔을 펼치거나, 긴 장대를 이용해서 중심을 잡는 것이다.
3. 토크(τ, Torque)
물체가 회전상태를 변화시키기 위해서는 힘이 필요한데 이때의 힘은 회전축에서 일정한 거리만큼 떨어진 곳에서 작용하는 힘으로 토그라고 부른다.
토크는 길이에 대한 길이에 수직하는 힘(𝐹𝑠𝑖𝑛𝜃) 의 곱으로 계산된다.
이것은 스패너의 길이가 길수록 동일한 힘으로 큰 토크를 낼수가 있는 것으로, 볼트가 잘 안풀리면 짧은 스패너보다 긴 스패너를 사용하면 쉽게 풀 수 있다는 점 기억해 두면 좋을것 같다
그러면 문 중에서 문고리가 문 회전 경첩에서 멀리 있는 문이 잘 열릴까? 가까이 있는 문이 잘 열릴까?
같은 힘으로 문을 열때는 문고리가 가까이 있는 것 보다 멀리 있는 문이 더 잘 열린다.
4. 각운동량
각운동량은 회전하는 물체가 갖는 운동량으로, 방향과 크기를 가지는 벡터 물리양이다. 각운동량과 토크의 관계를 살펴보면, 각운동량 L은 관성모멘트와 각속도의 곱이 된다.
각운동량에 대한 토크는 아래와 같이 시간에 따른 각운동량으로 회전관성과 각가속도 α 의 곱으로 표현된다.
따라서, 회전하는 힘에 대한 외부의 힘이 없다면 토크는 0이 되고, 시간에 따라 각운동량에 대한 변화가 없게된다.
즉, 토크는 회전운동의 원인으로 외부에서 힘을 가하지 않으면, 각운동량의 시간에 대한 변화가 없어 각운동량이 보존된다.
5. 각운동량 보존의 법칙들
피겨스케이트 선수가 손발을 이용해서 속도조절을 하는것은 각운동량 보존의 법칙을 이용하는 원리 이다. 여기에는 회전운동의 변화로 발생하는것이 토크 (τ, Torque) 이다.
피겨스케이트 선수들이 손발을 완전히 쭉 펴고 회전을 하다가 손발을 가운데로 모으면 회전속도는 매우 빨라지는데, 손발을 움츠리면(r ↓) 회전 관성(I)이 줄어들어 외부에서 회전을 변화시키려는 토크가 작용하지 않는 상태에서 회전관성을 줄였으므로 각운동량이 보존되기 위해서는 회전 속도(ω)가 빨라진다. 반대로 다시 손발을 펼치면(r ↑) 회전 관성(I)이 증가하므로 회전 속도(ω)는 감소한다. 각운동량은 보존된다.
결국 피겨스케이트 선수가 손발을 펼쳤을때나 손발을 움츠렸을때 각운동량이 같아 보존되기 때문이다.
김연아의 명품 점프를 살펴 보자. 얼음위를 빠르게 달려가서 선운동량을 최대로 만든 상태에서 발을 얼음 위에 찍고 도약하면서 선운동량을 그대로 각운동량으로 전환하는데, 이때 최대한 빨리 회전하기 위해 관성모멘트를 줄이기 위해 공중에서 팔을 오무린다. 공중에서 착지 할때는 관성모멘트를 키워 회전을 멈추기 위해서 팔과 다리를 벌리는 것이다.
실제로는 관성모멘트를 마음대로 조절하기가 쉽지 않다고 한다. 원심력이 중력의 네 배까지 생기기 때문에 공중에서 팔을 오므리거나 벌리는 게 어렵고 팔을 오므리는 시점에 따라 점프와 회전이 다르게 되는데 김연아는 이런 고난도 점프를 만드는 최적의 타이밍을 아는 선수라고 한다.
이렇게 각운동량 보존의 법칙이 적용되는 것은 주위에 많이 있다.
헬리콥터의 단회전날개식은 큰 프로펠러가 돌게되면 큰 각운동량을 가지면서 각운동량 보존에 의해 프로펠러 회전방향과 반대로 기체가 회전할려고 하기 때문에 꼬리날개에 프로펠러로 관성모멘트를 줄이는 방식이다. 탠덤회전식이나 동축 반전식도 마찬가지로 서로 다른 방향으로 회전하면서 회전관성을 줄이는 원리이다.
우주에서도 케플러의 2법칙, 3법칙이 각운동량 보존의 법칙에 해당된다. 우주에서 공전운동을 하는 경우 중력외에 회전하는데 외력이 없으니 각운동량이 보존되며, 같은 시간동안 태양과 행성이 그리는 면정은 항상 일정하다. 즉 행성의 공전 속력은 행성이 태양에서 가까울때는 빠르고, 멀리 있을때는 상대적으로 느리다.
다이빙할때도 각운동량 보존은 적용된다. 다이빙대를 떠날때 (A) 각운동량 떨어질때 다른 토크가 가해지지 않으므로 각운동량이 일정하며, 떨어지는 동안 몸을 굽혔을때(B)는 회전관성(I)가 작아져서 각속도가 빨라지고 몸을 폈을때( D)는 회전관성(I)가 증가하여 각속도는 느리게 된다.
이렇게 우리 생활에서 속도를 조절하거나, 균형을 잡을때 각운동량 보존을 이용하는 경우가 많이 있다.
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